Question

已知2^x≤256，且log2 （x)≥1/2,求函数f(x)=log2 (x/2)*log√2 （√x/2)的最大值和最小值

请各位老师帮忙

Answer 1

因为2^x≤256
所以x≤log2(256)=8
因为log2 （x)≥1/2
所以x≥2^（1/2）
所以2^（1/2）≤x≤8

log2 (x/2)是增函数

log√2 （√x/2)也是增函数。
所以f(x)也是增函数。
当x=2^（1/2）时f(x)有最小值1/2；
当x=8时f(x)有最大值2.

Answer 2

2^x≤256
x≤log2(256)=8
log2(x)≥1/2
x≥√2
所以√2≤x≤8
1/2≤log2(x)≤3

f(x)=log2(x/2)*log√2(√x/2)
=[log2(x)-1][log√2(√x)-2]
=[log2(x)-1][log2(x)-2]
=[log2(x)]^2-3log2(x)+2
f(x)'=2log2(x)-3
当1/2≤log2(x)≤3/2，即2^(1/2)≤x≤2^(3/2)时，f(x)'≤0，f(x)递减，
f[2^(1/2)]=3/4最大，
f[2^(3/2)]=-1/4最小；
当3/2≤log2(x)≤3，即2^(3/2)≤x≤8时，f(x)'≥0，f(x)递增，
f[2^(3/2)]=-1/4最小；
f(8)=2最大；

综上所述
最大值f(8)=2
最小值f[2^(3/2)]=-1/4

Answer 3

我的结果和楼上不一样，f(x)=(㏒2x-1)(log2x-2)
设t=log2x
因为√2<x<8
所以1/2<t<3
f(t)=(t-1)(t-2)=(t-3/2)-1/4
所以f(x)最小值为-1/4最大值为f(3)=2