Question

已知函数f（x）=1?(x?1)2，0≤x＜2f(x?2)，x≥2，若对于正数kn（n∈N*），直线y=knx与函数y=f（x）的图象

已知函数f（x）=1?(x?1)2，0≤x＜2f(x?2)，x≥2，若对于正数kn（n∈N*），直线y=knx与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则数列{kn2}的前n项和为______．

Answer 1

函数y=f（x）的图象是一系列半径为1的半圆，
∵直线y=k_nx与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，
∴直线y=k_nx与第n+1个半圆相切，∴

(2n+1)kn

1+ k 2 n

＝1，

k

2 n

＝

1

4n(n+1)

＝

1

4

(

1

n

?

1

n+1

)，
∴

k

2 1

+

k

2 2

+…+

k

2 n

＝

n

4n+4

．
故答案为：

n

4n+4

．