Question

已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点

已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．求证：CE+CF=AB；（2）如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F．写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）

Answer 1

（1）证明：连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，…（1分）
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD=∠B=60°．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，

∠BAE＝∠CAF AB＝AC ∠B＝∠ACF

，
∴△BAE≌△CAF（ASA），…（3分）
∴BE=CF，…（4分）
∴CE+CF=CB=AB．    …（5分）

（2）连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴AB=AD=AC，∠BAC=∠ACB=∠ADC=∠ACD=∠B=60°．
∴∠ACE=∠ADF=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，

∠CAE＝∠DAF AC＝AD ∠ACE＝∠ADF

，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴CE=DF，
∴CF-CE=CF-DF=CD=AB．