Question

已知定义在R上的函数 f （x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

已知定义在R上的函数 f （x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=13时，令h（x）=f′（x）+6x．求证：当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx（e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³-3x²，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，
∴a=2；
（2）①当a=0时，f（x）=-3x²，
此时，f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数；
②当a≠0时，f′（x）=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0，得x=0，x=

2

a

，
当a＞0时，f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上是增函数，在（0，

2

a

）上是减函数，
当a＜0时，f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上是减函数，在（

2

a

，0）上是增函数；
（3）当a=

1

3

时，f（x）=

1

3

x3?3x2，f′（x）=x²-6x，h（x）=f′（x）+6x=x²，
要证：h（x）≥2elnx  （ x＞0），只需证：h（x）-2elnx≥0  （x＞0），即证x²-2elnx≥0，
设F（x）=x²-2elnx，得F′（x）=2x?

2e

x

＝

2 (x+ e ) (x? e )

x

，
令F′（x）=0，得x=

e

，x=-

e

（ 舍去），
∴F（x）在（0，

e

）上是