Question

设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=19，a5+b3=9．（1）求数列{an}

设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=19，a5+b3=9．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=anbn+1an?an+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求Sn．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q．
∵a₃+b₅=19=1+2d+q⁴，
a₅+b₃=9=1+4d+q²．
化为2d+q⁴=18，4d+q²=8，
消d得2q⁴-q²-28=0，
∴q²=4（q＞0），
∴q=2，d=1，
∴a_n=n，bn＝2n?1
（2）记Tn＝1?20+2.21+3?22+…+n?2n?1，
2Tn＝1?21+2?22+…+(n?1)?2n?1+n?2n，
∴?Tn＝1+2+22+…+2n?1+n?2n＝(1?n)?2n?1
∴T_n=（n-1）?2ⁿ+1．
∵

1

an?an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

．
记

1

an?an+1

的前n项和Q_n，
则Q_n=1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

＝1?

1

n+1

，
∴Sn＝Tn+Qn＝(n?1)?2n+

2n+1

n+1

．