Question

设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（

设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-x3零点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+

e

x

，其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

e

x2

=

x?e

x2

                                                      
令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．
故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+

e

e

=2．
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

3x?3m?x3

3x2

，其定义域为（0，+∞）．
令g（x）=0，得m=-

1

3

x³+x．
设h（x）=-

1

3

x³+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．
h′（x）=-x²+1=-（x+1）（x-1）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	递增	极大值	递减

故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=

2

3

．
作出h（x）的图象，
由图象可得，
①当m＞

2

3

时，g（x）无零点；                                               
②当m=

2

3

或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；                              
③当0＜m＜

2

3

时，g（x）有两个零点．