Question

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．（1）证明：∠ACF=∠BCF；（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题设知，F（ p 2 ，0），C（- p 2 ，0）， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），直线l方程为x=my+ p 2 ， 代入抛物线方程y 2 =2px，得y 2 -2pmy-p 2 =0． y 1 +y 2 =2pm，y 1 y 2 =-p 2 ．…（4分） 不妨设y 1 ＞0，y 2 ＜0，则 tan∠ACF= y 1 x 1 + p 2 = y 1 y 1 2 2p + p 2 = 2p y 1 y 1 2 +p 2 = 2 py 1 y 1 2 -y 1 ?y 2 = 2p y 1 -y 2 ， 同理可得tan∠BCF= y 2 x 2 + p 2 = 2p y 1 -y 2 ， ∴tan∠ACF=tan∠BCF， ∴∠ACF=∠BCF．…（8分） （Ⅱ）如（Ⅰ）所设y 1 ＞0，tan∠ACF= 2p y 1 y 1 2 +p 2 ≤ 2 py 1 2py 1 =1，当且仅当y 1 =p时取等号， 此时∠ACF取最大值 π 4 ， ∴∠ACB=2∠ACF取最大值 π 2 ， 并且A（ p 2 ，p），B（ p 2 ，-p），|AB|=2p．…（12分）