Question

已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B

已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=13；
∵Q是BC的中点，
∴CQ=QB；
又∵PQ∥AC，
∴AP=PB，即P是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CP=

13

2

．

（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ为直径作半圆D，
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则
DM⊥AB，且AC=AM=5，
∴MB=AB-AM=13-5=8；
设CD=x，则DM=x，DB=12-x；
在Rt△DMB中，DB²=DM²+MB²，
即（12-x）²=x²+8²，
解之得x=

10

3

，
∴CQ=2x=

20

3

；
即当CQ=

20

3

且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．
②当

20

3

＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形
③当0＜CQ＜

20

3

时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当

20

3

≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．

Answer 2

（1）的情况下PQ即为三角形的中位线，P是斜边AB中点，所以PC=AB一半，就是13/2，（斜中线定理）
（2）P可以是直角顶点，即是以CQ为直径的圆和AB的交点为 P，当AB与圆相切时CQ最短，为20/3.所以12>CQ≥20/3