Question

证明：（1）对任意正整数n，都有1n+1＜ln(1+1n)＜1n（2）设an＝1+12+…+1n?lnn(n＝1，2，…)，证明{an}收

证明：（1）对任意正整数n，都有1n+1＜ln(1+1n)＜1n（2）设an＝1+12+…+1n?lnn(n＝1，2，…)，证明{an}收敛．

Answer 1

（1）f（x）=ln（1+x）在 [0，

1

n

] 应用中值定理，
ln(1+

1

n

)＝ln(1+

1

n

)?ln1＝

1

1+ξ

1

n

∵0＜ξ＜

1

n

∴

1

1+ 1 n

1

1+ξ

＜1
∴

1

1+ 1 n

1

n

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

（2）an+1＝1+

1

2

+…+

1

n+1

?ln(n+1)
∴an+1?an＝

1

n+1

?ln(n+1)+ln n＝

1

n+1

?

1

ξ

，n＜ξ＜n+1
其中 a_n+1-a_n＜0，a_n+1＜a_n，即数列单调递减
an＝1+

1

2

+…+

1

n

＞ln(1+

1

1

)+ln(1+

1

2

)+…+ln(1+

1

n

)?ln n
=ln2?ln

3

2

+…+ln

n+1

n

?ln n
=ln

n+1

n

＞0
单调递减且有界，故收敛