Question

如图，PA与⊙O相切于点A，PBC为割线，且过圆心O，PA=6，PB=3．（1）求⊙O的半径；（2）求证：AB：AC=1：2

如图，PA与⊙O相切于点A，PBC为割线，且过圆心O，PA=6，PB=3．（1）求⊙O的半径；（2）求证：AB：AC=1：2；（3）求AB的长．

Answer 1

（1）解：连结OA，如图，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠1+∠2=90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OC=OA，
∴∠3=∠C，
∴∠1=∠C，
而∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴PA：PC=PB：PA，
∵PA=6，PB=3，
∴6：（3+BC）=3：6，解得BC=9，
∴⊙O的半径为4.5；
（2）证明：∵△PAB∽△PCA，
∴AB：AC=PB：PA，
而PB=3，PA=6，
∴AB：AC=3：6=1：2；
（3）设AB=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，BC=9，
∵BC²=AB²+AC²，
∴9²=x²+（2x）²，解得x=

9 5

5

（x=-

9 5

5

舍去），
∴AB的长为

9 5

5

．