Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为（1，0），OB=OC，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A′，若QA-QB=2，求点Q的坐标和此时△QAA′的面积．

Answer 1

解答：解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．
将点C（0，3）代入该解析式y=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（如图1）

（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P₁，点P₁关于x轴的对称点为点P₂，点P₁、点P₂均为所求点．（如图2）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x=2上．
∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．
由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=x上．
∴点E的坐标为E（2，2）．
∴由勾股定理得 EA=

5

．
∴EP₁=EA=

5

．
∴点P₁的坐标为P₁（2，2+

5

）．
由对称性得点P₂的坐标为P₂（2，-2-

5

）． 
∴符合题意的点P的坐标为P₁（2，2+

5

）、P₂（2，-2-

5

）．

（3）∵点B、D的坐标分别为B（3，0）、D（2，-1），
可得直线BD的解析式为y=x-3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，（如图3）
若设AA'与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三点在一条直线上．
∵QA-QB=

2

，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=

2

．
作A'N⊥x轴于点N．
∵点Q在线段BD上，Q，B，A'三点在一条直线上，
∴A'N=BA'?sin45°=1，BN=BA'?cos45°=1．
∴点A'的坐标为A'（4，1）．
∵点Q在线段BD上，
∴设点Q的坐标为Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由两点间的距离公式得 （x-1）²+（x-3）²=（x-4）²+（x-3-1）²．
解得x=

11

4

．
经检验，x=

11

4

在2＜x＜3的范围内．
∴点Q的坐标为Q（

11

4

，-

1

4

）．
此时S_△QAA'=S_△A'AB+S_△QAB=

1

2

?AB?（|y_A'|+|y_Q|）=

1

2

×2×（1+

1

4

）=

5

4

．