Question

如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长

如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α=（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°

Answer 1

解答：解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°．
故选A．