Question

已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π/2)图像关于直线x=π/3对称

已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π/2)图像关于直线x=π/3对称，且它在y轴右侧的第一个最大值和最小值点分别为（x0,2）和（x0+2π，-2）
（1）求f(x)的解析式 （2）在锐角△ABC中，已知f(2A)=√3，求sinB+sinC的取值范围
答案越详细越好

Answer 1

已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π/2)图像关于直线x=π/3对称，且它在y轴右侧的第一个最大值和最小值点分别为（x0,2）和（x0+2π，-2）
（1）求f(x)的解析式（2）在锐角△ABC中，已知f(2A)=√3，求sinB+sinC的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π/2) 它在y轴右侧的第一个最大值和最小值点分别为(x0,2)和(x0+2π,-2)
∴A=2，T/2= x0+2π-x0=2π==>T=4π==>w=2π/T=1/2
∴f(x)=2sin(1/2x+φ)
∵f(x)图像关于直线x=π/3对称，
∴f(x)在Y轴右侧第一个对称轴为：wx+φ=π/2==>x=(π-2φ)/(2w)
令(π-2φ)/(2w)=π/3==>(π-2φ)=π/3==>φ=π/3
∴f(x)=2sin(1/2x+π/3)
(2)解析：∵在锐角△ABC中，f(2A)=2sin(A+π/3)=√3，
∴A+π/3=2π/3==>A=π/3==>B+C=2π/3==>C=2π/3-B
sinB+sinC=sinB+sin(2π/3-B)=√3sin(B+π/6)
∵0<B<2π/3==>0+π/6<B+π/<5π/6
∴sinB+sinC的取值范围为（√3/2,√3）