Question

谁能帮我证明0.999999999…（无限循环）等于1?

证明0.9无限循环等于1

Answer 1

这其实是个数项级数求和，因为0.9循环=9/10+9/100+9/1000+…无限加下去，这是个等比级数，且当公比|q|<1时,这个级数就收敛，也就是有极限，极限值为a1/(1-q)，所以这个级数当n趋于无穷时就收敛于0.9/（1-0.1）=1，这个时候我们就说这个级数有和，其实说0.9循环=1只是一个说法而已，确切的说0.9循环无限接近于1，极限值是无限接近而不是等于。

Answer 2

对于两个数a和b，a不等于b这个命题等效于一定能找出数c，使a<c<b,或者是b<c<a.比如说派等于a，派的平方等于b。那么c等于派加上派的平方的和除以2，可以得出a<c<b。而假如派等于a，派等于b，只能得出a=b=c。
接下来开始证明：
令0.9的循环等于a，1等于b，假定存在数c，使得a<c<b。令f（x）=1-10的-x次方。可以得出当x=-lg（（1-c）/10）时，f（x）=c。令d=[（-lg（（1-c）/10））+1]（中括号是取整数的意思）。因为f（x）是递增函数，所以f（d）>c。
然后事实上f（x）是等比数列求和的公式（首项是0.9，公比是0.1），比如说f（d）是首项为0.9，公比为0.1，d个数列求和。
用0.9的循环减去f（d），会得到一个正数，也就是说f（d）<0.9的循环
所以c<f（d）<0.9的循环，这与假设不符合（假定存在数c，使得a<c<b）。因此c不存在，所以0.9的循环等于1.
不过话又说回来，事实上这种证明方法用的也还是极限的定义。

Answer 3

在高等数学中，对两个实数是否等同的定义为：完备实数系中，若两个实数它们的差是无穷小，则认为这两个实数等大。所以答案就出来了。
0.999……本质上就不是一个‘有限’的数字，它本身就带有‘极限’的意思。”
那么至少在现在这个数学体系范围内而言，0.9的无限循环等于1是成立的。
当然，如果出现下一次颠覆数学的新理论，这个问题或许会出现变化。

Answer 4

因为1/3=0.3333333333.... 而1/3x3=0.333333333.....x3=0.999999999...=1

Answer 5

证明：0.999999......=1