Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．（Ⅰ）函

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c，f′（x）=3x 2 +2ax+b，（1分） 由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+2a+b=0， 即b=-2a-3，c=a+4（2分） f ′ (x)=3 x 2 +2ax-(2a+3) =3(x-1)(x+1+ 2a 3 ) ，（3分） 1当a=-3时，f′（x）=3（x-1） 2 ≥0，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调增加， 不存在单调减区间；（5分） 2当a＞-3时，-1- 2a 3 ＜1，有 x （- ∞，-1- 2a 3 ） （-1- 2a 3 ，1） （1，+∞） f′（x） + - + f（x） ↑ ↓ ↑ ∴当a＞-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[-1- 2a 3 ，1]（7分） 3当a＜-3时，-1- 2a 3 ＞1，有 x （-∞，1） （1，-1- 2a 3 ） （-1- 2a 3 ，+∞） f′（x） + - + f（x） ↑ ↓ ↑ ∴当a＜-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[1，-1- 2 3 a ]（9分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=-3， b=3，c=1，f（x）=x 3 -3x 2 +3x+1=（x-1） 3 +2（10分） 设点P（x 0 ，y 0 ）是函数f（x）的图象上任意一点，则y 0 =f（x 0 ）=（x 0 -1） 3 +2， 点p（x 0 ，y 0 ）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x 0 ，4-y 0 ）， ∵f（2-x 0 ）=（2-x 0 -1） 3 +2=-（x 0 -1） 3 +2=2-y 0 +2=4-y 0 ∴点Q（2-x 0 ，4-y 0 ）在函数f（x）的图象上． 由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．（14分）