Question

如图，在△ ABC 中， ，以 AC 为直径的半圆 O 分别交 AB 、 BC 于点 D 、 E （1）求证：点 E 是 BC 的中

如图，在△ ABC 中， ，以 AC 为直径的半圆 O 分别交 AB 、 BC 于点 D 、 E （1）求证：点 E 是 BC 的中点（2）若 ，求∠ BED 的度数。

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Answer 1

（1）见解析（2）40º

（1）证法一：连接AE , ········ 1分 ∵ AC 为⊙ O 的直径, ∴∠ AEC =90º,即 AE ⊥ BC. ··········· 4分 ∵ AB = AC, ∴ BE = CE ，即点 E 为 BC 的中点．········ 6分 证法二：连接 OE ， ············· 1分 ∵ OE = OC, ∴∠ C =∠ OEC. ∵ AB = AC, ∴∠ C =∠ B, ∴∠ B =∠ OEC, ∴ OE ∥ AB. ················· 4分 ∴ , ∴ EC = BE ,即点 E 为 BC 的中点. ········ 6分 ⑵∵∠ COD =80º, ∴∠ DAC =40º . ··············· 8分 ∵∠ DAC +∠ DEC =180º,∠ BED +∠ DEC =180º, ∴∠ BED =∠ DAC =40º．     11分 （1）连接AE，根据等腰三角形的性质易证 ⑵根据 ，求得∠ DAC ，利用角之间的等量代换求得∠ BED 的度数