Question

如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为5个单位长度．点P为直线y=-

如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为5个单位长度．点P为直线y=-x+4上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）写出点A、B的坐标：A______，B______；（2）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（3）求点P的坐标；（4）如图乙，若直线y=-x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值：b=______．

Answer 1

解：（1）如图甲，∵直线的解析式为y=-x+4，
∴当y=0时，x=4；当x=0时，y=4，即A（4，0），B（0，4）；
故答案是：（4，0），（0，4）；

（2）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：
如图甲，连接OC、OD．
∵PC、PD是⊙O的两条切线，
∴∠PCO=∠PDO=90°．
又∵PC⊥PD，
∴四边形OCPD是矩形．
又∵OC=OD，
∴四边形OCPD是正方形；

（3）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=

5

，OP=

10

∵P在直线y=-x+4上，设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（

10

）²，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）；

（4）分两种情形，直线y=-x+b将圆周分成两段弧长之比为1：3，可知被割得的弦所对的圆心角为90°，又直线y=-x+b与坐标轴的夹角为45°，如图可知，分两种情况，所以，b的值为

5

或-

5

．
故答案是：

5

或-

5

．