Question

已知函数f（x）=x2-2x-3，x∈[t，t+2]．（1）求f（x）的最值；（2）当f（x）的最大值为5时，求t的值

已知函数f（x）=x2-2x-3，x∈[t，t+2]．（1）求f（x）的最值；（2）当f（x）的最大值为5时，求t的值．

Answer 1

（1）将函数进行配方得f（x）=（x-1）²-4，对称轴为x=1，抛物线开口向上．
①若t≥1，函数f（x）在区间[t，t+2]单调递增，此时最大值为f（t+2）=（t+1）²-4=t²+2t-3，最小值为f（t）=（t-1）²-4=t²-2t-3．
②若t+2≤1，即t≤-1时，函数f（x）在区间[t，t+2]单调递减，此时最小值为f（t+2）=（t+1）²-4=t²+2t-3，最大值为f（t）=（t-1）²-4=t²-2t-3．
③若t＜1＜t+2，即-1＜t＜1时，函数f（x）在区间[t，t+2]不单调，此时最小值为f（1）=-4．
区间[t，t+2]的中点为t+1，当t+1≤1，即-1＜t≤0时，函数的最大值为f（t）=（t-1）²-4=t²-2t-3．
当t+1＞1，即0＜t＜1时，函数的最大值为f（t+2）=（t+1）²-4=t²+2t-3．
（2）由f（x）=x²-2x-3=5，解得x=4或x=-2．要使函数的最大值是5，则满足

t＝?2 t+2≤4

，
即t=-2或者

t＝4 t+2≥?2

即t＝4．
所以满足条件的t=-2或t=4．