Question

设函数f（x，y）=(x2+y2)αsin1x2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，其中α为常数．则当α满足条件______时，此

设函数f（x，y）=(x2+y2)αsin1x2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，其中α为常数．则当α满足条件______时，此函数在原点处连续；当α满足条件______时，fx（0，0）存在．

Answer 1

∵（x，y）→（0，0）时，|sin

1

x2+y2

|≤1，
α＞0时，

lim

(x，y)→(0，0)

(x2+y2)α＝0
∴由“无穷小与有界函数的乘积依然是无穷小”的性质，知
当α＞0时，

lim

，(x，y)→(0，0)

f(x，y)＝0＝f(0，0)
又
f_x（0，0）=

lim

x→0

f(x，0)?f(0，0)

x

=

lim

x→0

x2αsin 1 x2

x

=

lim

x→0

x2α?1?

1

x2

=

lim

x→0

x2α?3
∴当2α-3＞0时，即α＞

3

2

时，f_x（0，0）存在．