Question

已知二次函数y=mx2-5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数图象与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象

已知二次函数y=mx2-5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数图象与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．（1）求点A、B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时△MAO的周长最小；（3）若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且△PAB的面积为10，求m的值．

Answer 1

（1）当x=0时，y=1，则点A的坐标为（0，1），
因为对称轴为x=

5m

2m

=

5

2

，则点B（5，1）；

（2）设直线OB的表达式为y=kx，
把B（5，1）代入，
∴1=5k，
解得：k=

1

5

，即y=

1

5

x，
当x=

5

2

时，y=

1

2

，则当M点坐标为（

5

2

，

1

2

）时△MAO的周长最小；

（3）设△PAB底边上AB上的高为PH，
S_△PAB=AB?PH?

1

2

，即10=5×PH×

1

2

，
解得PH=4，
情况一：当AB=AP=5时，由勾股定理得AH=3，
所以P点坐标为（-3，5）或（3，-3）代入得：m=

1

6

或

2

3

，
情况二：当AB=BP=5时，由勾股定理得AH=3，
所以P点坐标（8，5）或（2，-3）代入得：m=

1

6

或

2

3

，
情况三：AB为底，则点P坐标为（

5

2

，-3）代入得m=

16

25

，
综上所述，m的值为

1

6

或

2

3

或

16

25

．