Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=12，且关于x的方程f（x）=-16

已知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=12，且关于x的方程f（x）=-16x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{an}满足a1=1，an+1=lnan+an+2（n∈N*），求证：an≤2n-1．

Answer 1

（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），f′(x)＝?

ax?1

x

(x＞0)，
(0，

1

a

)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，(

1

a

，+∞)，f′(x)＜0，f(x)单调递减
当x＝

1

a

时，f（x）取最大值f(

1

a

)＝?lna…（4分）
（Ⅱ）解：a＝

1

2

，由f(x)＝?

1

6

x+b得lnx?

x

3

+1＝b在[1，4]上有两个不同的实根，
设g(x)＝lnx?

x

3

+1，x∈[1，4]，g′(x)＝

3?x

3x

，x∈[1，3）时，g'（x）＞0，x∈（3，4]时，g'（x）＜0，
所以g（x）_max=g（3）=ln3，
因为g(1)＝

2

3

，g(4)＝2ln2?

1

3

，g(1)?g(4)＝

2

3

?2ln2+

1

3

＝1?2ln2＜0，得g（1）＜g（4）
所以b∈[2ln2?

1

3

，ln3)…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当a=1时，lnx＜x-1．
由已知条件a_n＞0，a_n+1=lna_n+a_n+2≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，
故a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以当n≥2时，0＜

an+1

an?1+1

≤2，0＜

an?1+1

an?2+1

≤2，…，0＜

a2+1

a1+1

≤2，
相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n?1，
又a₁=1，故an+1≤2n，即an≤2n?1…（12分）