设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.(Ⅰ)证明数列{an

设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明... 设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明1S1+1S2+…+1Sn<2;(Ⅲ)设集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使对满足n>m的一切正整数n,不等式Sn-1005>a2n2恒成立,求这样的正整数m共有多少个? 展开
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tuziyeni77
2014-10-06 · TA获得超过149个赞
知道答主
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(Ⅰ)由已知,2Sn=an2+an,且an>0.,当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+an-1.于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,即2an=an2-an-12+an-an-1
.于是an2-an-12=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.
(Ⅱ)因为an=n,则Sn=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
).
所以
1
S1
+
1
S2
++
1
Sn
=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)++(
1
n
-
1
n+1
)]=2(1-
1
n+1
)<2;
(Ⅲ)由Sn-1005>
a
2
n
2
,得
n(n+1)
2
-1005>
n2
2
,即
n
2
>1005,所以n>2010.
由题设,M={2000,2002,,2008,2010,2012,,2998},
因为m∈M,所以m=2010,2012,,2998均满足条件,且这些数组成首项为2010,公差为2的等差数列.
设这个等差数列共有k项,则2010+2(k-1)=2998,
解得k=495.
故集合M中满足条件的正整数m共有495个.
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