Question

已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=-14时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，4

已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=-14时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解答：（本题满分14分）
解：（I）当a＝?

1

4

时，f′(x)＝?

(x?2)(x+1)

2x

(x＞0)…（2分）
则当0＜x＜2时f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，2）上为增函数；
当x＞2时f'（x）＜0，故函数f（x）在（2，+∞）上为减函数，…（5分）
故当x=2时函数f（x）有极大值f(2)＝

3

4

+ln2…（7分）
（Ⅱ）f′(x)＝2a(x?1)+

1

x

，因函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
则f′(x)＝2a(x?1)+

1

x

≤0在区间[2，4]上恒成立，…（9分）
即2a≤

1

?x2+x

在[2，4]上恒成立，而当2≤x≤4时，

1

?x2+x

∈[?

1

2

，?

1

12

]，…（12分）
2a≤?

1

2

，即a≤?

1

4

，故实数a的取值范围是(?∞，?

1

4

]．   …（14分）