Question

高中数列问题，高手来

a1=1,a(n+1)=2an+n^2+2n +2 求an

Answer 1

a(n+1)=2a(n)+n^2+2n+2
a(n)=2a(n-1)+(n-1)^2+2(n-1)+2
两式相减整理得
a(n+1)-3a(n)+2a(n-1)=2n+1
a(n)-3a(n-1)+2a(n-2)=2(n-1)+1
两式相减整理得
a(n+1)-4a(n)+5a(n-1)-2a(n-2)=2
a(n)-4a(n-1)+5a(n-2)-2a(n-3)=2
两式相减整理得
a(n+1)-5a(n)+9a(n-1)-7a(n-2)+2a(n-3)=0
至此，可用特征根解线性齐次递归方程的办法求解得
a(n)=b*2^n+c*n^2+d*n+e
将a(1)、a(2)、a(3)、a(4)的值分别代入解方程得出b、c、d、e的值，再代入上式得
a(n)=13*2^（n-1）-n^2-4n-7

Answer 2

设a(n+1)+x(n+1)^2+y(n+1)+z=2(an+xn^2+yn+z)
解得：x=1,y=4,z=7
所以a(n+1)+(n+1)^2+4(n+1)+7=2(an+n^2+4n+7)
令：bn=an+n^2+4n+7
那么b(n+1)=2bn
bn=2^(n-1).b1
b1=13
所以bn=13X2^(n-1)
an=13X2^(n-1)-n^2-4n-7