Question

某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图

某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10．（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；（Ⅱ）从成绩落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率．

Answer 1

（Ⅰ）设第一小组的频率为x，则x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125，
第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为

10

2×0.125

=40人．
依题意，分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为0.175+0.075=0.25，
所以估计本次竞赛的优秀率为25%．
（Ⅱ）落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的学生数分别为0.125×40=5；0.075×40=3．
落在（50.5，60.5）的学生设为Ai（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的学生设为Bj（j=1，2，3），
则从这8人中任取两人的基本事件为：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，A₅），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，A₅），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），
（A₃，A₄），（A₃，A₅），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₃），
（A₄，A₅），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（A₄，B₃），
（A₅，B₁），（A₅，B₂），（A₅，B₃），
（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃），
共28个基本事件；
其中“成绩落在同一组”包括（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，A₅），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，A₅），（A₃，A₄），（A₃，A₅），（A₄，A₅），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃），
共包含13个基本事件，
故所求概率为

13

28