Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=3D

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=3DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．（1）求EF QG的值．（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．
∴△EPD∽△EQB．
∴

DP

BQ

＝

PE

QE

．
∵BQ=3DP，
∴

PE

QE

＝

1

3

．
∴

PE

PQ

＝

1

4

．
∵EF∥BC，
∴∠PEF=∠PQG，∠PFE=∠G．
∴△PEF∽△PQG，
∴

EF

QG

=

PE

PQ

＝

1

4

；
（2）不会发生变化．
∵AD∥BC，
∴

BQ

PD

＝

CG

PD

．
∴BQ=CG．
∴BC=QG．
∵△PEF∽△PQG，
∴S四边形EFGQ＝

15

16

S△PQG．
∴S△PQG＝

1

2

QG×AB=

1

2

BC×AB=

1

2

×13×12=78．
∴S四边形EFGQ＝

15

16

×78=73.125．