Question

（2014?扬州）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，

（2014?扬州）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

Answer 1

（1）证明：连接OD、OE，

∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的长度为4π，
∴4π＝

nπ×12

180

，
∴n=60，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，
∴∠B=∠EDA，
∴DE∥BC．

（2）连接FD，

∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴FD是⊙0的直径，
由（1）得：∠EFD=

1

2

∠EOD=30°，FD=24，
∴EF=12

3

，
又∵∠EDA=30°，DE=12，
∴AE=4

3

，
又∵AF=CE，∴AE=CF，
∴CA=AE+EF+CF=20

3

，
又∵tan∠ABC＝tan30°＝

AC

BC

＝

3

3

，
∴BC=60．