（2013?河池模拟）已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
（2013?河池模拟）已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|...
（2013?河池模拟）已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围（2）若g（x）=x3+（b-a+1）x+a+c 写出使的g（x）＞f（x）的x取值范围．
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（1）f′（x）=3x2-2ax+b，
∵函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根，
∴
?
∴f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，
当x变化时，有下表
而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，
∴x∈[2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
?c＞54，c＜-18．
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
（2）不等式可化为ax2+（1-a）x+a＞0．
当a=0时，x＞0
当a≠0时，对应方程的△=1-3a2-2a=-（3a-1）（a+1）
所以：当0＜a＜
时，x＞
或x＜
当a＞
∵函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根，
∴
|
|
∴f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，
当x变化时，有下表
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f’（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 最大值 c+5 | ↘ | 最小值 c-27 | ↗ |
∴x∈[2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
?c＞54，c＜-18．
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
（2）不等式可化为ax2+（1-a）x+a＞0．
当a=0时，x＞0
当a≠0时，对应方程的△=1-3a2-2a=-（3a-1）（a+1）
所以：当0＜a＜
| 1 |
| 3 |
a?1+
| ||
| 2a |
a?1?
| ||
| 2a |
当a＞
| 1 |
3
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