Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=3asinC+ccosA．（1）求角A；（2）若a=23，△ABC的面积

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=3asinC+ccosA．（1）求角A；（2）若a=23，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）由c=

3

asinC+ccosA，利用正弦定理化简得：sinC=

3

sinAsinC+sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴

3

sinA+cosA=1，即2sin（A+

π

6

）=1，
∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
则A+

π

6

=

5π

6

，即A=

2π

3

；
（2）∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

，sinA=

3

2

，
∴bc=4，
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，得a²+bc=（b+c）²，
代入a=2

3

，bc=4，
解得：b+c=4，
则△ABC周长为4+2

3

．