已知,如图,正方形ABCD中,点E是CB延长线上一点,连接DE,分别交AC、AB于点F、G,且BE=BF.(1)请判断G

已知,如图,正方形ABCD中,点E是CB延长线上一点,连接DE,分别交AC、AB于点F、G,且BE=BF.(1)请判断GB与EF有怎样的数量关系?并证明你的结论.(2)求... 已知,如图,正方形ABCD中,点E是CB延长线上一点,连接DE,分别交AC、AB于点F、G,且BE=BF.(1)请判断GB与EF有怎样的数量关系?并证明你的结论.(2)求AGGB的值以及四边形BCDF与正方形ABCD的面积之比. 展开
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虎帐安然文章80
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解答:(1)EF=3GB.
证明:连接BD,

在△FDA和△FBA中,
∠DAF=∠BAF,
AF=AF,
AB=AD,
∴△FDA≌△FBA(SAS),
∴∠ABF=∠ADF,BF=DF,
∴∠FBD=∠FDB;
又∵BE=BF,
∴∠E=∠BFE;
而∠EFB=2∠FDB,
∠FBC=2∠E,
∴4∠FDB-∠FDB=∠DBC=45°,
∴∠E=∠EFB=30°;
过点B作BH⊥ED垂足为点H
∴∠GBH=30°,
∴在直角△GBH中,GB=
2
3
3
BH,
在直角△EBH中,EH=
3
BH,EF=2
3
BH,
∴EF:GB=2
3
BH:
2
3
3
BH=3:1,
即EF=3GB.

(2)在直角△GBH和直角△EBG中,
GH=
3
3
BH,GB=
2
3
3
BH,EB=2BH,
又∵EF=3GB=2
3
BH,
∴GF=2
3
BH-EH-GH=
2
3
3
BH=GB,
DF=BF=BE=2BH,
∴DG=(2+
2
3
3
)BH=;
∵AD∥EB,
∴∠ADG=∠E=30°,
∴AG=(1+
3
3
)BH,
AG
GB
=(1+
3
3
)BH:
2
3
3
BH=
2+
3
2

∵AD∥EC,
∴△ADF∽△EFC,
AF
FC
=
DF
FE
=
3
3

S四边形BCDF:S正方形ABCD=S△BCF:S△BFA=FC:AF=
3
:1.
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