Question

如图，直线y=-x+3与双曲线y＝kx（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连结OA、OB，若S△AO

如图，直线y=-x+3与双曲线y＝kx（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连结OA、OB，若S△AOB=S△OBF+S△OAE，则k=27162716．

Answer 1

解答：解：令y=0，则-x+3=0，
解得x=3，
令x=0，则y=3，
∴点E（3，0）、F（0，3），
∴OE=OF=3，即S_△EOF=

9

2

，
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立

y＝?x+3 y＝ k x

，
消掉y得，x²-3x+k=0，
根据根与系数的关系，x₁?x₂=k，
∴y₁?y₂=k，
∴y₁=x₂，y₂=x₁，
∴OA=OB，
∴AM=BM（等腰三角形三线合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
过A作AN⊥OE，可得S_△OAE=

1

4

S_△EOF=

9

8

，
∴

1

2

×3×AN=

9

8

，即AN=

3

4

，
将y=

3

4

代入y=-x+3中得：x=

9

4

，
∴点A（

9

4

，

3

4

），
则反比例函数解析式中的k=

27

16

．
故答案为：

27

16