Question

过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点F1,做x轴的垂线交椭圆于P，F2为右焦点，

过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点F1,做x轴的垂线交椭圆于P，F2为右焦点，且角F1PF2=60°，求离心率

Answer 1

由给定的椭圆方程x^2/a^2＋y^2/b^2＝1，得：c＝√（a^2－b^2），
∴点F1的坐标是（－√（a^2－b^2），0），∴PF1的方程是x＝－√（a^2－b^2）。
令x^2/a^2＋y^2/b^2＝1中的x＝－√（a^2－b^2），∴（a^2－b^2）/a^2＋y^2/b^2＝1，
∴y^2/b^2＝b^2/a^2，∴y^2＝b^4/a^2，∴｜PF1｜＝b^2/a。
显然有：｜F1F2｜＝2c＝2√（a^2－b^2）。

∵∠F1PF2＝60°，∴｜F1F2｜＝√3｜PF1｜，∴2√（a^2－b^2）＝√3b^2/a，
∴4a^2－4b^2＝3b^4/a^2，∴4a^4－4（ab）^2＝3b^4，∴（b/a）^4＋（b/a）^2＝3/4，
∴［（b/a）^2＋1/2］^2＝1，∴（b/a）^2＋1/2＝1，∴（b/a）^2＝1/2。
∴e＝c/a＝√［（a^2－b^2）/a^2］＝√［1－（b/a）^2］＝√（1－1/2）＝√2/2。

Answer 2

根据题意，焦点在x轴上，
设x²/a² y²/b²=1
左焦点(-c，0)，
故P坐标可求为(-c，±b²/a)
F1F2=2c，
所以F1P=2c/√3
即有2c/√3=b²/a
2√3c/3=(a²-c²)/a
c² 2√3/3ac-a²=0
同时除以a²，(c/a)² 2√3/3(c/a)-1=0
求得e=c/a=√3/3

Answer 3

三角形PF1F2是个直角三角形，根据勾股定理得e=3/根号3