Question

高中函数求值域

求y=根号下(x)+根号下(1-x)的值域

要详细过程，好的加分。急！、

Answer 1

1.三角换元
定义域为[0,1]
令x=(sina)^2
y=sina+cosa
由辅助角公式,y=根号2sin(a+45度),a属于[0,90]
故1<=y<=根号2

2.向量法
设向量a(1,1),向量b(根号下(x),根号下(1-x))
则y=a·b
=|a||b|cosx
=根号2×cosx
因为b在第一象限，所以x属于[0,45]
故1<=y<=根号2

3.判别式法
y^2=1+根号下(x-x^2)
y^4-2y^2+1=x-x^2
把方程看作关于x的二次函数，
令delta>=0，因为x属于[0,1]
f(0)<0，f(1)>0或f(1)<0，f(0)>0
可解得1<=y<=根号2

4.求导
y'=1/2(x)^(-1/2)+1/2(1-x)^(-1/2)=0
当x=1-x即x=1/2时取极大值，定义域内无极小值
故最小值f(0)=1
最大值f(1/2)=根号2

Answer 2

y=根号下(x)+根号下(1-x)，这种题目要考虑除根号，这里使用三角函数法，
设x=(sina)^2(0<=a<=π/2，保证开根号后不为负)，则y=sina+cosa=根号2*sin(a+π/4)((0<=a<=π/2),所以0<=y<=根号2

Answer 3

题看错了晕

Answer 4

[1,根号2]
用三角代换很简单的，或者直接平方再用二次函数配方。