Question

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△A

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC，设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S △MNC ，△ABC的面积为S △ABC 。
（1）求证：△MNC是直角三角形；（2）试求用x表示S △MNC 的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，①当直线AD与⊙N相切时，试探求S △MNC 与S △ABC 之间的关系；②当S △MNC = S △ABC 时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由。





Answer 1

解：（1）MN∥DE， ∴ ， 又∵AD=AB，AE=AC， ∴ ， 又∵∠BAM=∠CAN， ∴△ABM∽△ACN， ∴∠B=∠NCA， ∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°， ∴∠MCN=90°，即△MNC是直角三角形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4， ∴AC=2，AB=2 ， ∴△ABM∽△ACN， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC， ∵△ABM∽△ACN， ∴ ， ∴AM=MB， ∵∠B=30°， ∴∠α=30°，∠AMC=60°， 又∵∠ACB=90°-30°=60°， ∴△AMC是等边三角形， ∴AM=MC=BM=2， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； ②当 时， ∴则有 ，解得x=1或x=3； （i）当x=1时，在Rt△MNC中，MC=4-x=3， ∴ ， 在Rt△AMN中，∠AMN=30°， ∴ ， ∵ ，即AN＞NC， ∴直线AD与⊙相离； （ii）当x=3时，同理可求出，NC= ，MC=1，MN=2，AN=1， ∴NC＞AN， ∴直线AD与⊙相交。

Answer 2

是这题吗
如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC，设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC。

（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；
②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由。