Question

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD。（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若A

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD。（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

Answer 1

解：（1）证明：∵CD切⊙O于E， ∴∠3=∠4 ∵AB是直径， ∴∠AEB=90 °， 又∵AD⊥CD， ∴∠D=90 °， ∴∠1+∠3=90°=∠2+∠4， 而∠3=∠4， ∴∠1=∠2，即AE平分∠DAC； （2）①Rt△ABE中，AE=ABsin∠4=3×sin60°= ， Rt△AED中，AD=AEsin∠3= ×sin60°= ； ②连结OE，则有∠AOE=2∠4=120°， ∴ ， Rt△ABE中，∠2=90°-∠4=30°， 作EH⊥AB于点H，则EH=AEsin30°= ， ∴ ， ∴ 。