Question

二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a是正整数），c≥1，a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a的

二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a是正整数），c≥1，a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a的最小值为（　　）A．2B．3C．4D．5

Answer 1

设f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q属于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得：apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
两式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，即a²≥

1

p(1?p)q(1?q)

，
又由基本不等式可得：p（1-p）q（1-q）≤

1

16

由于上式取等号当且仅当p=q=

1

2

与已知矛盾，故上式的等号取不到，
故p（1-p）q（1-q）＜

1

16

因此得到a²＞16即a＞4
所以函数f（x）=5x²-5x+1满足题设的所有条件，
因此a的最小值为5．
故选D．