Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3），Sn+1=2Sn+3n，n∈N*．（1）设bn=Sn-3n，n∈N*，证明数列{bn

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3），Sn+1=2Sn+3n，n∈N*．（1）设bn=Sn-3n，n∈N*，证明数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a≠3时，

bn+1

bn

Sn+1?3n+1

Sn?3n

＝

2Sn+3n?3n+1

Sn?3n

=2
所以{b_n}为等比数列．                                                   （4分）
（2）b₁=S₁-3=a-3，（1分）b_n=（a-3）×2^n-1．                                 （2分）
所以S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1（3分）a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*an＝

a 2×3n?1+(a?3)×2n?2

，

n＝1 n≥2

；                                （6分）
（3）a_n+1≥a_n，

a2＞a1 an+1＞an

，

n＞2

，（2分）
a≥-9（5分）
所以a≥-9，且a≠3．                                    &