Question

在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PE

在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示．则∠1+∠2=______．（用α的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示．则∠α、∠1、∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．（不需要证明）

Answer 1

解：（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，
∴∠1+∠2=∠A+α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠1+∠2=60°+α．
故答案是：60°+α；

（2）∠α=∠1-∠2+60°．理由如下：
如图（2），设AC与PE交于点F，．
∵∠1为△PFD的外角，
∴∠1=∠α+∠PFD．
∵∠2为△AEF的外角，
∴∠2+∠A=∠AFE
∵∠A=60°，∠AFE=∠PFD
∴∠2=60°+∠PFD        
∴∠1-∠2=∠α-60°
∴∠α=∠1-∠2+60°；

（3）如图（3）时：∠α=∠2-∠1-60°；
如图（4）时：∠α=∠1-∠2+60°．