Question

已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围

已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

∵函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x，
∴f′（x）=ln（x+1）-2ax，
∵f（0）=0，
若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，
仅需函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x在（0，+∞）上递减即可，
即f′（x）=ln（x+1）-2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，
即当x＞0时，y=2ax的图象恒在y=ln（x+1）图象的上方，
由于y=2ax的图象与y=ln（x+1）图象交于（0，0）点，
故y=ln（x+1）的导数

1

x+1

＜2a在x＞0时恒成立，
由于g（x）=

1

x+1

在（0，+∞）上为减函数，且g（0）=1，
则2a≥1，
即a≥

1

2

，
故a的取值范围为：[

1

2

，+∞）