Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；（3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标．

Answer 1

（1）抛物线的对称轴为直线x=-

?4a

2a

=2，
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，3），
∴

a?4a+4a+c＝0 4a+c＝3

，
解得

a＝1 c＝?1

，
∴此抛物线的解析式y=x²-4x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3k+b＝0 b＝3

，
解得

k＝?1 b＝3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∵点Q在x轴下方，
∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴当x=

3

2

时，PQ的长度有最大值

9

4

；

（3）如图，设△ABC的外接圆的圆心D，
则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，
∴点D的坐标为（2，2），
∴外接圆的半径为

(3?2)2+22

=

5

，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，
点M在点D的下方时，M₁（2，2-

5

），
点M在点D的上方时，M₂（2，2+

5

），
综上所述，M（2，2-

5

）或（2，2+

5

）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．