如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=...
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（1）求证：DM∥平面PCB；（2）求直线AD与平面PBD所成角的正弦值；（3）求三棱锥P-MBD的体积．
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解答：（1）证明：如图所示，取PB的中点N，连接MN，CN．
由M为PA的中点，
∴MN
AB，
∵CD
AB，
∴MN
CD．
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴MD∥NC．
又MD?平面PCB，NC?平面PCB．
∴MD∥平面PCB．
（2）解：如图所示，取AP的中点O，连接PO，OB．
∵AP=PD，∴PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，
则PO⊥平面ABCD，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴OB⊥AD，
∴OB⊥平面APD．
∴OA、OB、OP两两垂直．
∴A（1，0，0），D（-1，0，0），B(0，
，0)，P（0，0，1）．
∴
=(1，
，0)，
=(0，?
，1)，
=（-2，0，0）．
设平面PBD的法向量为
=（x，y，z），
则
，令y=
，则z=3，x=-3．
∴
＝(?3，
，3)．
设直线AD与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=
由M为PA的中点，
∴MN
| ∥ |
. |
| 1 |
| 2 |
∵CD
| ∥ |
. |
| 1 |
| 2 |
∴MN
| ∥ |
. |
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴MD∥NC．
又MD?平面PCB，NC?平面PCB．
∴MD∥平面PCB．
（2）解：如图所示，取AP的中点O，连接PO，OB．
∵AP=PD，∴PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，
则PO⊥平面ABCD，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴OB⊥AD，
∴OB⊥平面APD．
∴OA、OB、OP两两垂直．
∴A（1，0，0），D（-1，0，0），B(0，
| 3 |
∴
| DB |
| 3 |
| PB |
| 3 |
| AD |
设平面PBD的法向量为
| n |
则
|
| 3 |
∴
| n |
| 3 |
设直线AD与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
| n |
| AD |
|
|
