Question

如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠ABC=30°，E为AB上一点，且AE=4cm，动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边

如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠ABC=30°，E为AB上一点，且AE=4cm，动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2？（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△EBP．
∴

AM

BP

=

AE

BE

=

1

2

，
∵AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，
∴AM=

1

2

tcm，
过E作EN⊥AD，
∵∠MAE=30°、AE=4cm，
∴EN=

1

2

AE=2cm，
∵S_△EAM=3cm²，
∴

1

2

×

1

2

t×2=3，
解得t=6，
∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm²；

（2）∵AD∥BC，
∴S_梯PCDM=72-

3

2

t，
∵S_△PCQ=

144?24t+t2

4

，S_△MQD=

12t+ 1 2 t2

4

，
∴S_△MPQ=-

3

8

t²+

3

2

t+36，
∴S_△MPQ=-

3

8

 （t-2）²+

75

2

，
当t=2时，S最大值为

75

2

；

（3）t的值有两个，
如图2，
∵△PQE的外心恰好在它的一边上，
∴△PQE为直角三角形，
由BP=DQ、BC=DC可得PQ∥BD，
若∠EPQ=90°，则可得PE⊥BD （或PE∥AC），
∴BP=BE=8cm，即当t=8s时，∠EPQ=90°．