Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，都有Sn=3an-5n．（1）求数列{an}的首项；（2）若数列{an+λ}是

设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，都有Sn=3an-5n．（1）求数列{an}的首项；（2）若数列{an+λ}是等比数列，试求出实数λ的值，并写出数列{an}的通项公式；（3）数列{bn}满足bn=9n+4an+5，是否存在m，对任意n∈N*使得bn≤bm成立？如果存在，求出正整数m的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵S_n=3a_n-5n  ①，
∴S₁=a₁=3a₁-5，解得a1＝

5

2

；
（2）由S_n=3a_n-5n，得S_n-1=3a_n-1-5（n-1），n≥2  ②．
①-②得，an＝

3

2

an?1+

5

2

，
∴an+5＝

3

2

(an?1+5)，
∴{a_n+5}是以

3

2

为公比的等比数列，即λ的值是5．
∴an＝

15

2

?(

3

2

)n?1?5；
（3）∵b_n=

9n+4

an+5

，
∴bn＝

9n+4

15 2 ?( 3 2 )n?1

．
∴

bn

bn?1

＝

9n+4 15 2 ?( 3 2 )n?1

9n?5 15 2 ?( 3 2 )n?2

＝

18n+8

27n?15

．

18n+8

27n?15

?1＝

18n+8?27n+15

27n?15

＝

?9n+23

27n?15

．
∴当n≥3时，

bn

bn?1

＜1，当n=2时，

bn

bn?1

＞1，
∴当n=2时，b_n有最大值b2＝

264

135

．
∴m=2．