Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（4，1），与y轴交于点B（0，-1），直线l经过点D（0，-2），且平行于x轴，

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（4，1），与y轴交于点B（0，-1），直线l经过点D（0，-2），且平行于x轴，过点A作AE⊥l，垂足为E．（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）若点P是在直线AB上方的抛物线上一点，是否存在点P使四边形PBDA的面积最大，如果存在，求出四边形PBDA的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（4，1），B（0，-1），
∴

-16+4b+c=1 c=-1

，
解得

b= 9 2 c=-1

．
∴抛物线解析式为y=-x²+

9

2

x-1；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（4，1），B（0，-1），
∴

4k+b=1 b=-1

，
解得

k= 1 2 b=-1

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x-1；

（2）∵B（0，-1），D（0，-2），A（4，1），
∴BD=-1-（-2）=1，点A到BD的距离为4，
∴S_△ABD=

1

2

×1×4=2，
∵S_{四边形PBDA}=S_△ABD+S_△APB，
∴△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，
过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，
则PF=-x²+

9

2

x-1-（

1

2

x-1）=-x²+4x，