Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，则该数列的前8项和为（　　）A．38B．40C

已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，则该数列的前8项和为（　　）A．38B．40C．42D．44

Answer 1

∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，
∴a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos²

(2k?1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k?1)π

2

=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
∴数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
该数列的前项的和为1+2+2+4+3+8+4+16=40．
故选：B．