Question

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列．则an=______

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列．则an=______．

Answer 1

由

2a1＝a2?3 2(a1+a2)＝a3?7 2(a2+5)＝a1+a3

，解得a₁=1．
由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，当n≥2时，可得2Sn?1＝an?2n+1，
两式相减，可得2an＝an+1?an?2n，即an+1＝3an+2n，
变形为an+1+2n+1＝3(an+2n)，
∴数列{an+2n}（n≥2）是一个以a₂+4为首项，3为公比的等比数列．
由2a₁=a₂-3可得，a₂=5，
∴an+2n＝9×3n?2，即an＝3n?2n（n≥2），当n=1时，a₁=1，也满足该式子，
∴数列{a_n}的通项公式是an＝3n?2n．
故答案为：an＝3n?2n．