如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BE...
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
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（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则
＝(?2，0，t)，
＝(?2，0，?4)．
∵BE⊥B1C，
∴可得
?
＝4+0?4t＝0．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且
＝(?2，0，1)．
又∵
＝(?2，2，?4)，
＝(2，2，0)，…（4分）
∴
?
＝4+0?4＝0
且
?
＝?4+4+0＝0…（6分）
∴
⊥
且
⊥
．
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴
⊥平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
＝(?2，2，?4)是平面BDE的一个法向量，
又∵
＝(0，2，?4)，
∴cos＜
，
＞＝
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则
| BE |
| B1C |
∵BE⊥B1C，
∴可得
| BE |
| B1C |
∴E（0，2，1），且
| BE |
又∵
| A1C |
| DB |
∴
| A1C |
| BE |
且
| A1C |
| DB |
∴
| A1C |
| DB |
| A1C |
| BE |
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴
| A1C |
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
| A1C |
又∵
| A1B |
∴cos＜
| A1C |
| A1B |
|
