Question

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交C于A、B两点，M是x轴上一动点，那么MA?MB的最小值

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交C于A、B两点，M是x轴上一动点，那么MA?MB的最小值是______．

Answer 1

依题意知2p=4，
∴p=2，
∴抛物线焦点坐标（1，0），
∴直线AB的方程为y=x-1，

y2＝4x y＝x?1

，消去y得x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，0），
∴

MA

?

MB

=（x₁-x）（x₂-x）+y₁y2
=（x₁-x）（x₂-x）+（x₁-1）（x₂-1）
=2x₁x₂-（x+1）（x₁+x₂）+x²+1
=2-（x+1）?6+x²+1
=x²-6x-3
=（x-3）²-12，
∴当x=3，即点M为（3，0）时

MA

?

MB

有最小值，最小值为-12．
故答案为：-12