Question

整数x0，x1，x2，x3，…，x2003满足条件：x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，…，|x2003|=|x

整数x0，x1，x2，x3，…，x2003满足条件：x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，…，|x2003|=|x2002+1|．（1）试用仅含x2003的代数式表示|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|，（2）求|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值．

Answer 1

（1）由已知得：

x 2 1 ＝ x 2 0 +2x0+1 x 2 2 ＝ x 2 1 +2x1+1 x 2 3 ＝ x 2 2 +2x2+1 x 2 2003 ＝ x 2 2002 +2x2002+1．

于是x₂₀₀₃²=x₀²+2（x₀+x₁+x₂+x₂₀₀₂）+2003，
又∵x₀=0，
∴2（x₁+x₂+x₂₀₀₃）=x₂₀₀₃²+2x₂₀₀₃-2003=（x₂₀₀₃+1）²-2004，
即|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|=

1

2

|（x₂₀₀₃+1）²-2004|．

（2）由于x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃为整数，则x₂₀₀₃+1是偶数，
比较|44²-2004|与|46²-2004|的大小，可得：
|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|≥

1

2

|44²-2004|=34．
当x₀=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43时，等号成立．
所以|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值为34．