Question

设α1,α2,α3是齐次方程组AX=0的基础解系,则AX=0还有其他基础解系吗？如果有，请给出例子

设α1,α2,α3是齐次方程组AX=0的基础解系,则AX=0还有其他基础解系吗？如果有，请给出例子证明。
需要有过程，谢谢。

Answer 1

α1，α1+α2，α2+α3也是Ax=0的基础解系.

证明: (α1,α1+α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)P
P =
1 1 0
0 1 1
0 0 1

因为 |P|=1≠0, 所以P可逆.
所以 α1,α2,α3 与 α1,α1+α2,α2+α3 等价.
所以 r(α1,α1+α2,α2+α3) = r(α1,α2,α3) = 3.
且 Ax=0 的解可由 α1,α1+α2,α2+α3 线性表示.
故 α1,α1+α2,α2+α3 是Ax=0 的基础解系.